Esta discusión está inspirada en los trabajos de Bogoslovsky
Revisión de las Transformaciones de Lorentz
Asumiremos un espacio-tiempo homogéneo. Esto quiere decir que las transformaciones entre dos sistemas de coordenadas (sólo dos dimensiones por simplicidad) $S’$ y $S$, con velocidad relativa $v$ son lineales:
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha (v) & \sigma (v)\\
\delta (v) & \lambda (v)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix}$$
La linealidad indica que sólo puede depender de la velocidad relativa.
Consideraremos ambos observadores partir juntos en $x = x’ = 0$. Diremos que $S’$
está en reposo y luego de un tiempo $t$ en $S$ tenemos
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha & \sigma \\
\delta & \lambda
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ v t
\end{pmatrix}$$
De la segunda componente tenemos
$$\delta = – \lambda \beta$$
con $\beta = \frac{v}{c}$
Por lo tanto,
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha (v) & \sigma (v) \\
– \lambda (v) \beta & \lambda (v)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{1}$$
De esto, tenemos que para la parte espacial $x’ = \lambda (v) (x – v t)$
La transformación inversa debería ser la misma pero con la dirección opuesta en la velocidad ($- v$):
$$\begin{pmatrix}
c t \\ x
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha (- v) & \sigma (- v)\\
\lambda (- v) \beta & \lambda (- v)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t’ \\ x’ \end{pmatrix} \tag{2}$$
Para la parte espacial: $x = \lambda (- v) (x’ + v t’)$.
Colocamos juntas ambas partes espaciales:
$$x’ = \lambda (v) x – \lambda (v) \beta c t$$
$$x = \lambda (- v) x’ + \lambda (- v) \beta c t’$$
Insertando $x’$ en la ecuación para $x$ y arreglando:
$$c t’ = \left( \frac{1}{\lambda (- v)} – \lambda (v) \right) \frac{1}{\beta}
x + \lambda (v) c t \tag{3}$$
De (1) tenemos que para la parte temporal:
$$c t’ = \alpha (v) c t + \sigma (v) x \tag{4}$$
igualando (3) y (4):
$$\alpha (v) = \lambda (v)$$
$$\sigma (v) = \left( \frac{1}{\lambda (- v)} –
\lambda (v) \right) \frac{1}{\beta}$$
Luego,
$$\begin{pmatrix}c t’ \\ x’ \end{pmatrix} = \lambda (v) \begin{pmatrix} 1 & \left( \frac{1}{\lambda (- v) \lambda (v)} – 1 \right) \frac{1}{\beta}\\\beta & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{5}$$
Así, las transformaciones infinitesimales son
$$c d t’ = \lambda (v) \left( c d t + \left( \frac{1}{\lambda (- v) \lambda
(v)} – 1 \right) \frac{1}{\beta} d x \right)$$
$$d x’ = \lambda (v) (d x – \beta c d t)$$
De esto podemos obtener que
$$\frac{d x’}{d t’} = \frac{\frac{d x}{d t} – \beta c}{1 + \left(
\frac{1}{\lambda (- v) \lambda (v)} – 1 \right) \frac{1}{\beta c} \frac{d x}{d
t}}$$
Ésta es la regla de adición de velocidad. Asumiremos que la velocidad de la luz $c$ es la misma en cualquier sistema de referencia. Entonces, considerando $\frac{d x’}{d t’} = \frac{d x}{d t} =
c$ tenemos que
$$c = \frac{c – \beta c}{1 + \left( \frac{1}{\lambda (- v) \lambda (v)} – 1
\right) \frac{1}{\beta c} c}$$
Luego,
$$\frac{1}{\lambda (- v) \lambda (v)} = 1 – \beta^2$$
Definimos $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \beta^2}}$. Entonces,
$$\lambda (- v) \lambda (v) = \gamma^2 \tag{6}$$
Usando (6) en (5):
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’
\end{pmatrix} = \lambda (v) \begin{pmatrix}
1 & – \beta\\
– \beta & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{7}$$
Podemos definir $\varphi (v) \gamma = \lambda (v)$, así
$$\varphi (- v) \varphi (v) = 1 \tag{8}$$
y
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’
\end{pmatrix} = \varphi (v) \gamma \begin{pmatrix}
1 & – \beta \\
– \beta & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{9}$$
Entonces, las transformaciones son:
$$c t’ = \varphi (v) \gamma (c t – \beta x) \tag{10}$$
$$x’ = \varphi (v) \gamma (x – \beta c t) \tag{11}$$
Bajo la suposición de isotropía $\varphi (v) = \varphi (- v)$. Usando esto en (8), $\varphi (v) = 1$ y obtenemos las transformaciones de Lorentz:
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’ \end{pmatrix}= \gamma \begin{pmatrix}
1 & – \beta\\
– \beta & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{12}$$
Esta ecuación matricial contiene las transformaciones:
$$c t’ = \gamma (c t – \beta x) \tag{13}$$
$$x’ = \gamma (x – \beta c t) \tag{14}$$
Estableciendo una conexión con geometría, podemos definir $\tanh \theta = \beta =
\frac{v}{c}$:
$$\begin{pmatrix} c t’ \\ x’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh \theta & – \sinh \theta\\ \sinh \theta & \cosh \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{15}$$
Si tomamos el elemento de línea $d s^2 = c^2 d t^2 – d x^2$, en el sistema primado:
$$c^2 {d t’}^2 – {d x’}^2 = \gamma^2 (c d t – \beta d x)^2 – \gamma^2 (d x –
\beta c d t)^2$$
Y luego de cierta álgebra
$$c^2 {d t’}^2 – {d x’}^2 = c^2 d t^2 – d x^2 = d s^2$$
Las transformaciones de Lorentz transformations dejan el elemento de línea invariante.
La suposición de anisotropía
Siguiendo a Bogoslovsky, introducimos un factor conforme $e^{- b \theta}$ in (15):
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
e^{- b \theta} \cosh \theta & – e^{- b \theta} \sinh \theta\\
– e^{- b \theta} \sinh \theta & e^{- b \theta} \cosh \theta
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix} \tag{16}$$
Ya que $\theta = \tanh^{- 1} \beta = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + \beta}{1 – \beta} \right)$ tenemos que $e^{- b \theta} = e^{- \frac{b}{2} \ln \left( \frac{1 + \beta}{1 –
\beta} \right)} = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^{\frac{b}{2}}$, así,
$$c t’ = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^{\frac{b}{2}} \gamma (c t –
\beta x)$$
$$x’ = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^{\frac{b}{2}} \gamma (x –
\beta c t)$$
El mismo resultado puede obtenerse si no asumimos isotropía en (9). Usando
$\tanh \theta = \beta = \frac{v}{c}$ obtenemos
$$\begin{pmatrix}
c t’ \\ x’ \end{pmatrix} = \varphi (\theta) \begin{pmatrix}
\cosh \theta & – \sinh \theta\\ \sinh \theta & \cosh \theta
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
c t \\ x \end{pmatrix}$$
El producto de dos transformaciones es
$$\varphi (\theta) \begin{pmatrix}
\cosh \theta & – \sinh \theta\\ \sinh \theta & \cosh \theta
\end{pmatrix} \varphi (\psi) \begin{pmatrix}
\cosh \psi & – \sinh \psi\\ \sinh \psi & \cosh \psi
\end{pmatrix} = \varphi (\theta) \varphi (\psi) \begin{pmatrix}
\cosh (\theta + \psi) & – \sinh (\theta + \psi)\\ \sinh (\theta + \psi) & \cosh (\theta + \psi)
\end{pmatrix}$$
Para que ésta forme un Grupo, lo siguiente debe cumplirse:
$$\varphi (\theta) \varphi (\psi) = \varphi (\theta + \psi) \tag{17}$$
Dhasmana y Silagadze dicen que todas las soluciones continuas de (17) son de la forma $\varphi (\theta) = e^{- b \theta}$, que es el término de Bogoslovsky.
Estas transformaciones no dejan invariante el elemento de línea estándar $d s^2 =
c^2 d t^2 – d x^2$:
$${c d t’}^2 {- d x’}^2 = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^b (c d t^2 – d x^2) = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^b d s^2$$
Pero sí deja invariante
$$d s^2 = \left( \frac{(c d t – d x)^2}{c d t^2 – d x^2} \right)^b (c d t^2 –
d x^2)$$
Este nuevo elemento de línea puede escribirse como
$$d s^2 = (c d t – d x)^{2 b} (c^2 d t^2 – d x^2)^{1 – b}$$
invariante bajo
$$c t’ = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^{\frac{b}{2}} \gamma (c t – \beta x)$$
$$x’ = \left( \frac{1 – \beta}{1 + \beta} \right)^{\frac{b}{2}} \gamma (x – \beta c t)$$